materi eksponen

PEMBAHASAN

EKSPONEN

1. Pengertian Eksponen
Bentuk aⁿ (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :
Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

                      

2. Fungsi Eksponen dan Grafiknya
Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke a^x dengan a > 0 dan Jika a > 0 dan , maka disebut fungsi eksponen mempunyai sifat-sifat :

Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

Monoton naik untuk a > 1

Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = a^x

y = a^x : a > 1

y = a^{x :}  0 <>

Contoh:
Buatlah grafik dari y = 2^x!
Jawab:
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2^x . Dalam hal ini pilih nilai x sehingga y mudah ditentukan.

3. Persamaan fungsi eksponen dan penerapannya

LOGARITMA

1.      Pengertian Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memiliki bentuk umum  f(x)= ^alog x dengan x > 0, a > 0, dan a ≠ 1. Penulisan logaritma ^alog x akan mempunyai arti atau terdefinisi apa bila a > 0, a ≠ 1 dan x > 0. Dalam hal ini, a disibut basis atau bilangan pokok logaritma dan x nilai yang dilogaritmakan. Bila basis loga ritma adalah 10 maka basis tersebut umumnya tidak ditulis, misalnya ¹⁰log 5= log 5.

Jika kita bandingkan fungsi logaritma dan dengan fungsi eksponen maka kedua fungsi tersebut terdapat hubungan yang erat.

Sebagai contoh:

a.       ⁵log 25 =2 karena 25 = 5²

b.      ²log 8 = 3 karena 8 = 2³

c.       ⁴log 64 = 3 karena 64 = 4³

d.      ²log (-3) tidak terdepinisi karena (3) < 0

2.      Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

Pada fungsi eksponen kita telah mengetahui cara-cara menentukan nilai-nilai eksponen di suatu titik. Misalnya diberikan sebuah fungsi f(x) = 2^x  jika x = 2 maka penyelesaiannya adalah f(2) = 2² = 4. Sekarang yang menjadi persoalan bagaimanakah cara untuk memnentukan x supaya f(x) = 16? Untuk menentukan nilai x tersebut kita dapat menggunakan logaritma. Seperti yang sudah di ketahui bahwa =  ^alog b = c jika hanya jika b = a^c dimana a > 0 dan a 1.

Ini berarti 2^x = 16  ó²log16  ó ²log 2⁴  ó 4 . ²log 2

Kita telah mempelajari bahwa ^alog a = 1 jadi f(x) = 2^x dan f(x) = 16 maka   x = 4 untuk menyelsaikan persoaalan logaritma maka kita perlu mengingat sifat-sifat logaritma. Yaitu :

a.       ^alog x + ^alog y = ^alog xy

contoh:

tentukan hasil dari:

1.      ²log 4 + ²log 8 = ²log 4 . 8

  = ²log 32 = 5

2.      ³log (1/9) + ³log 81= ³log (1/9). 81

      = ³log 9 = 2

b.      ^alog x – ^alog y = ^alog

contoh:

tentukan hasil dari:

1.      ²log 16 – ² log 8 = ²log (16/8)

= ²log 2 = 1

2.       log 1.000 – log 100 = log (1000/100)

  = log 10 = 1

c.       ^alog xⁿ = n . ^alog x
contoh:

tentukan hasil dari:

1.       2 log 3 + 4 log 3 = log 3² + log 3⁴
                                = log 9 + log 81
                                = log 9 . 81
                                = log 729

2.      2log a + 2 log b = log a² + log b²
                             = log a² . b²
                             = log (ab)²

Yang perlu kita ingat disini adalah

a.       Log²x = log x . log x

Log x² = 2 log x

Jadi log²x  log x²

b.      Log^-1x =

Log x^-1 =

d.       ^alog b x ^blog c = ^alog c

contoh:

tentukan hasil dari:

1.      ³log 7 x ⁷log 81 = ³log 81

        = ³log 3⁴ = 4

2.      ²log 5 x ⁵log 32 = ²log 32

        = ²log 2⁵ = 5

e.       ^alog b  =

contoh:

tentukan hasil dari:

1.      bila ⁵log3 = a dan ³log2 = b, maka ⁶log75 =…?

penyelesaian:

⁶log75 =

 =

dari yang diketahui 3 adadi a dan b maka ambil bilangan pokok = 3

=  =

 =

2.       = ⁸log2 = ⁸log (8)^1/3 =  

f.        ^alogb =

contoh:

tentukan hasil dari:

1.      ⁸log2 =  =  

2.       = ⁶log2 + ⁶log3 = ⁶log 2.3.= ⁶log6 = 1

g.        

Contoh:

Tentukan hasil dari:

1.      ^alog 8    =

2.      ⁸log 16 = ²log 2 ^4/3 =

3.      Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma.

Bentuk –bentuk umum persamaan logaritma:

a.       ^alog f(x) = ^alog m

jika ^alog f (x) = ­^alog m , f (x) > 0,maka f (x) = m

contoh:

   tentukan penyelesaian ²log (x - 2) = 4

      jawab:

²log (x – 2) = 4

²log (x – 2) = ²log 2⁴

                                  (x – 2) = 2⁴

            x = 18

Jadi hasil yang kita dapatkan dari persamaan ²log (x – 2) = 4 adalah x = 18

b.      ^alog f (x) = ^blog f (x)

jika  ^alog f (x) = ^blog f (x), a  b, maka f(x) = 1

contoh:

      tentukan penyelesaian log (x² – 3) = ⁴log (x² – 3)

jawaban:

log (x² – 3) = ⁴log (x² – 3)

      (x² – 3) = 1

               X² = 4

   x = -2 atau x = 2

c.       ^alog f (x) = ^alog g (x)

jika ^alog f (x) = ^alog g (x) , a > 0, a  1, f (x) > 0, dan g (x) > 0  maka f (x) = g (x)

contoh:

tentukan penyelesaian ⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷l0g (4x – 2)

jawab:

⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷l0g (4x – 2)

          x² – 2x + 3 = 4x – 2

          x² – 6x + 5 = 0

     (x – 1) (x – 5) = 0

       x= 1 atau x = 5

Sekarag kita selidiki apakah f (x) > 0, dan g (x) > 0

f (1) = 1² – 2 .1 + 3 = 1 – 2 + 3 = 2 > 0

g (1) = 4.1 – 2 = 4-1 = 2 > 0

f (5) = 5² – 2.5 + 3 = 25 – 10 + 3 = 18 > 0

g (5) = 4.5 – 2 = 20 -2 = 18 > 0

karena untuk x = 1 dan x = 5, f (x) > 0 dan g (x) > 0 maka x = 1 dan x = 5 merupakan penyelesaian. Jadi penyelesaian ⁷log (x² – 2x + 3) = ⁷l0g (4x – 2) adalah x =1 dan x = 5

d.      ^{f (x)} log g(x) = ^f(x) log h(x)

jika ^{f (x)} log g (x) = ^f(x) log h (x) ,f (x) > 0, g (x) > 0, h (x) > 0 dan f (x)  1, maka   

 g (x) = h (x)

contoh:

tentukan himpunan penyelesaian dari ^x-1log (x +2) = ^x-1log (x² + 3x +2)

jawab:

^x-1log (x +2) = ^x-1log (x² + 3x +2)

  x + 2 =  x² + 3x +2

                                 x (x + 2) = 0

 x = 0 atau x = -2

sekarang kita selidiki apakah f (x) > 0, f (x)  1, g (x) > 0, dan h (x) > 0

f (0) = 0 – 1 = -1 < 0

f (-2) = -2 -1 = -3 < 0

oleh karena itu untuk x = 0 dan x = -2 bukan penyelesaian jadi himpunan penyelesaian dari ^x-1log (x +2) = ^x-1log (x² + 3x +2) adalah Ø

e.       A^Plog² f (x) + B^Plog f (x) + c = 0

Terlebih dahulu, misalnya y = ^plog f (x). Dari pemisalan ini, di peroleh

Ay² + By + c = 0. Nilai y yang kita peroleh, subtitusi kembali pada pemisalan    y = ^plog f (x), sehingga kita memperoleh nilai x.

Contoh:

Tentukanlah penyelesaian ⁴log² x – ⁴log³ + 2 = 0

Jawab:

⁴log² x – ⁴log³ + 2 = 0

⁴log²x – 3⁴logx + 2 = 0

Misalkan y = ⁴logx maka y² – 3y + 2 = 0 = (y – 1) (y – 2) = 0

                                                                                 Y = 1 atau y = 2

Untuk mendapatkan nilai x, subtitusikan nilai y yang kita peroleh ke permisalan

y = ⁴log x

y = 1 => ⁴log x = 1 sehingga x = 4

y² = 2 => ⁴log x = 2 sehingga x = 16

jadi penyelesaian dari ⁴log² x – ⁴log³ + 2 = 0 adalah x = 4 atau x = 16

4.      Uji Kompetensi

1.      Tentukan hasil fungsi dibawah berikut ini!

a.       ⁶log 2 + ⁶log 3 =

b.      ⁵log  . ⁹log 125 + ¹⁶ log 32 =

c.      

d.      ^alog  . ^blog  . ^clog  =

2.      Jika 2 log x + log 6x – log 2x – log 27 = 0 maka x sama dengan

3.      Jika ^alog (3x – 1 ) . ⁵log a = 3, maka x =

4.      Jika ⁵log 3 = a dan ³log 4 = b maka ⁴log 1 5 =

5.      Jika ²log 7 = a, maka ⁸log 49 =

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

Setelah kita  membaca dan memahami  apa isi dari makalah ini , kita mengetahui pengertian dari fungsi eksponen dan logaritma yaitu fungsi yang saling berkaitan erat, sebagai mana contoh yang disajikan diatas.

Dengan kita mengetahui sifat – sifat dari eksponen dan logaritma dan mengaplikasikannya dengan contoh – contoh disetiap sifatnya, kita akhirnya bisa menyelesaikan masalah – masalah yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma, dan memahami persamaan apa saja yang ada dalam eksponen dan logaritma.

B.   Saran

Setelah kita mengetahui pngertian, sifat – sifat dan persamaan eksponen dan logaritma, hendanya kita semua jangan berhenti sebatas apa yang kita dapat dari makalah ini, akan tetapi mari kita mengulangi dan mencri ilmu dan memperaktikkannya. Karna apa yang kita dapatkan jika tidak di ulangi, berhenti untuk mencari ilmu, dan memperaktiknya akan sia – sia dan akan hilang.

Dengaan selesaiya makalah ini semoga bisa menjadi pembelajaraan dan menghilangkan rasa ketidak senangan terhadap matematika, karena sebagian besar orang didunia ini beranggapan bahwa matematika adalah ilmu yang membosankan dan ilmu yang tidak bisa di ajak kompromi. Karna kita banyak yang tidak tahu bahwa matematika mempunyai perananan yang sangat penting mengenai perkembangan dan kemajuan IPTEK (Ilmu Pengetahuan dan Tekhnologi).

DAFTAR PUSTAKA

Murray R. S paigel, Teori dan Soal-soal Matika dasar,Erlangga, Jakarta 1989.

Andi Hakim Nasution, dkk.,matematika 1, 2, dan 3, untuk smu, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta 1993